L'energia potenziale meccanica di un gas è il massimo lavoro di volume ottenibile dalla sua completa espansione. Per un dato volume di gas (V) ad una certa pressione (P), il massimo lavoro di volume ottenibile è calcolabile considerando un processo di espansione isobara alla pressione P dal volume 0 al volume V e una successiva espansione adiabatica fino a Pfinale=0.
L'immagine che segue illustra graficamente i due processi nel piano P-V.
Al processo di espansione isobara è associato un lavoro di volume pari a
Lisobara = P * V
che nell'immagine precedente corrisponde all'area di colore verde.
Il lavoro di volume associato al processo di espansione adiabatica è invece dato da
Ladiabatica = P * Vgamma * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] * [ Vfinale(1 - gamma) - V(1-gamma) ] =
= P * Vgamma * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] * [ 0 - V(1-gamma) ] =
= - P * V[gamma + ( 1 - gamma )] * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] =
= - P * V * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] =
= P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ]
Poichè nel secondo passaggio si sfrutta il fatto che per Vfinale tendente a infinito
Vfinale(1 - gamma) = 0
la relazione finale trovata
Ladiabatica = P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ]
vale solo ed esclusivamente nel caso in cui la pressione alla fine dell'espansione adiabatica sia nulla.
Il lavoro adiabatico corrisponde all'area di colore rosso.
Il lavoro complessivo è dato dalla somma dei due contributi
L = Lisobara + Ladiabatica =
= P * V + P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ] =
= P * V * { 1 + [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } =
= P * V * { [ ( gamma - 1 ) + 1 ] / ( gamma - 1 ) } =
= P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ]
Il lavoro di volume massimo ottenibile dipende perciò linearmente sia dalla pressione che dal volume di gas e il coefficiente di proporzionalità
[ gamma / ( gamma - 1 ) ]
dipende dal tipo di gas.
Un'altra osservazione di fondamentale importanza è che il contributo isobaro e quello adiabatico non dipendono dalla pressione, ma solo dal tipo di gas.
Contributo isobaro = Lisobara / L = P * V / { P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= 1 / [ gamma / ( gamma - 1 ) ] = ( gamma - 1 ) / gamma
Contributo adiabatico = Ladiabatica / L = { P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } / { P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= { [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } / { [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= 1 / gamma
Nella tabella che segue sono stati raccolti i dati relativi ai tre gas ideali (monoatomico, biatomico e poliatomico).
I numeri mostrano che il contributo adiabatico supera sempre il contributo isobaro e che il divario aumenta nel passaggio da gas monoatomico a gas biatomico e a gas poliatomico.
L'analisi proposta in questa sede è solo teorica perchè nelle situazioni reali l'espansione non avviene mai fino a pressione nulla.
Dal punto di vista applicativo è di maggiore interesse il calcolo dell'energia potenziale meccanica di un gas riferita ad una pressione di fine espansione non nulla. Questo aspetto sarà l'argomento del prossimo post.
L'immagine che segue illustra graficamente i due processi nel piano P-V.
Al processo di espansione isobara è associato un lavoro di volume pari a
Lisobara = P * V
che nell'immagine precedente corrisponde all'area di colore verde.
Il lavoro di volume associato al processo di espansione adiabatica è invece dato da
Ladiabatica = P * Vgamma * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] * [ Vfinale(1 - gamma) - V(1-gamma) ] =
= P * Vgamma * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] * [ 0 - V(1-gamma) ] =
= - P * V[gamma + ( 1 - gamma )] * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] =
= - P * V * [ 1 / ( 1 - gamma ) ] =
= P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ]
Poichè nel secondo passaggio si sfrutta il fatto che per Vfinale tendente a infinito
Vfinale(1 - gamma) = 0
la relazione finale trovata
Ladiabatica = P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ]
vale solo ed esclusivamente nel caso in cui la pressione alla fine dell'espansione adiabatica sia nulla.
Il lavoro adiabatico corrisponde all'area di colore rosso.
Il lavoro complessivo è dato dalla somma dei due contributi
L = Lisobara + Ladiabatica =
= P * V + P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ] =
= P * V * { 1 + [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } =
= P * V * { [ ( gamma - 1 ) + 1 ] / ( gamma - 1 ) } =
= P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ]
Il lavoro di volume massimo ottenibile dipende perciò linearmente sia dalla pressione che dal volume di gas e il coefficiente di proporzionalità
[ gamma / ( gamma - 1 ) ]
dipende dal tipo di gas.
Un'altra osservazione di fondamentale importanza è che il contributo isobaro e quello adiabatico non dipendono dalla pressione, ma solo dal tipo di gas.
Contributo isobaro = Lisobara / L = P * V / { P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= 1 / [ gamma / ( gamma - 1 ) ] = ( gamma - 1 ) / gamma
Contributo adiabatico = Ladiabatica / L = { P * V * [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } / { P * V * [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= { [ 1 / ( gamma - 1 ) ] } / { [ gamma / ( gamma - 1 ) ] } =
= 1 / gamma
Nella tabella che segue sono stati raccolti i dati relativi ai tre gas ideali (monoatomico, biatomico e poliatomico).
| TIPO DI GAS | Gamma | Contributo isobaro | Contributo adiabatico |
| Monoatomico | 5/3 | 2/5 = 0,400 (40,0%) | 3/5 = 0,600 (60,0%) |
| Biatomico | 7/5 | 2/7 = 0,286 (28,6%) | 5/7 = 0,714 (71,4%) |
| Poliatomico | 9/7 | 2/9 = 0,222 (22,2%) | 7/9 = 0,778 (77,8%) |
I numeri mostrano che il contributo adiabatico supera sempre il contributo isobaro e che il divario aumenta nel passaggio da gas monoatomico a gas biatomico e a gas poliatomico.
L'analisi proposta in questa sede è solo teorica perchè nelle situazioni reali l'espansione non avviene mai fino a pressione nulla.
Dal punto di vista applicativo è di maggiore interesse il calcolo dell'energia potenziale meccanica di un gas riferita ad una pressione di fine espansione non nulla. Questo aspetto sarà l'argomento del prossimo post.
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