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giovedì 7 agosto 2014

Falsi motori

Curiosando nei forum capita talvolta di imbattersi in entusiastiche presentazioni di potenziali motori che però tali non sono in quanto non hanno alcuna possibilità di generare lavoro utile neppure a livello teorico.
Tali oggetti, di nessuna utilità dal punto di vista applicativo, sono comunque utili come esempi di calcolo.
Il dispositivo discusso in questa pubblicazione è rappresentato dall'animazione seguente:


L'oggetto è composto da due camere separate dalle sfere che scorrono a tenuta all'interno di canali tubolari e da due pistoni esterni collegati fra loro da uno stelo.
Le parti di colore blu sono fredde, mentre la zona colorata di rosso è calda.
L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione all'interno delle due camere e questa a sua volta determina lo spostamento delle sfere di separazione.
La versione originale era dotata di biellismo e di rigeneratore. Quella proposta qui è una variante free piston ed il rigeneratore è stato rimosso in quanto costituisce un'inutile complicazione.

Sostituendo la parte fissa centrale con un cilindro e le sfere con un pistone forato per lasciare passare lo stelo di collegamento fra i due pistoni esterni le trasformazioni termodinamiche non cambiano, ma l'oggetto si presta meglio all'analisi teorica.
L'animazione di seguito mostra la nuova geometria. L'oscillazione dei pistoni esterni determina una variazione di pressione e di volume che è stata rappresentata nei diagrammi a lato.
Il diagramma superiore è relativo alla camera superiore, mentre quello inferiore è relativo alla camera inferiore.
Lo stato del gas è identificato dal cerchietto che si sposta lungo le curve di trasformazione.


Ipotizzando che il gas contenuto nel volume circondato dalla parete blu si trovi alla temperatura fredda mentre quello contenuto nel volume circondato dalla parete rossa si trovi alla temperatura calda è possibile definire la seguente serie di equazioni.

PRIMA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera superiore

nSF + nSC = nS

dove
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
nS è la quantità di gas totale contenuto nella camera superiore espressa in moli


SECONDA EQUAZIONE: bilancio di massa nella camera inferiore

nIF + nIC = nI

dove
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
nI è la quantità di gas totale contenuto nella camera inferiore espressa in moli


TERZA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera superiore

PS · VSF = PS· XF · SSF = nSF · R · TSF

dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSF è il volume freddo della camera superiore espresso in m³
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSF è la superficie utile del pistone freddo della camera superiore espressa in m²
nSF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSF è la temperatura fredda della camera superiore espressa in K (Kelvin)


QUARTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera superiore

PS · VSC = PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC

dove
PS è la pressione nella camera superiore espressa in Pa
VSC è il volume caldo della camera superiore espresso in m³
CC è la corsa massima del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) espressa in m
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SSC è la superficie utile del pistone caldo della camera superiore espressa in m²
nSC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera superiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TSC è la temperatura calda della camera superiore espressa in K (Kelvin)


QUINTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas freddo nella camera inferiore

PI · VIF = PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF

dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIF è il volume freddo della camera inferiore espresso in m³
CF è la corsa massima del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) espressa in m
XF è lo spostamento del pistone di potenza (F sta per freddo in quanto resta sempre a contatto con le parti del cilindro di colore blu) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIF è la superficie utile del pistone freddo della camera inferiore espressa in m²
nIF è la quantità di gas alla temperatura fredda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIF è la temperatura fredda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)


SESTA EQUAZIONE: equazione di stato del gas caldo nella camera inferiore

PI · VIC = PI · XC · SIC = nIC · R · TIC

dove
PI è la pressione nella camera inferiore espressa in Pa
VIC è il volume caldo della camera inferiore espresso in m³
XC è lo spostamento del pistone centrale di separazione (C sta per caldo in quanto resta sempre a contatto con il cilindro di colore rosso) con la convenzione che assuma il valore nullo quando il pistone si trova nel punto più basso mentre quando arriva nel punto più alto ha il valore della sua corsa massima espressa in m
SIC è la superficie utile del pistone caldo della camera inferiore espressa in m²
nIC è la quantità di gas alla temperatura calda contenuto nella camera inferiore espressa in moli
R è la costante dei gas perfetti e ha il valore 8,314 J/(mol·K)
TIC è la temperatura calda della camera inferiore espressa in K (Kelvin)

*****************************************************************

Nelle 6 equazioni riportate sono presenti 20 incognite:

1) nSF
2) nSC
3) nS

4) nIF
5) nIC
6) nI

7) PS
8) XF
9) SSF
10) TSF

11) CC
12) XC
13) SSC
14) TSC

15) PI
16) CF
17) SIF
18) TIF

19) SIC
20) TIC

Vediamo ora come ridurre il numero di incognite.

Definendo la geometria del motore è possibile calcolare le seguenti 6 grandezze che pertanto potranno essere depennate dall'elenco delle incognite:

1) SSF (incognita n.9)
2) CC (incognita n.11)
3) SSC (incognita n.13)
4) CF (incognita n.16)
5) SIF (incognita n.17)
6) SIC (incognita n.19)

Definire le temperature operative fa depennare altre 4 incognite:

1) TSF (incognita n.10)
2) TSC (incognita n.14)
3) TIF (incognita n.18)
4) TIC (incognita n.20)

Definire la pressurizzazione a freddo permette di eliminare 2 incognite:

1) nS (incognita n.3)
2) nI (incognita n.6)

A questo punto le incognite residue sono scese a 8:

1) nSF (incognita n.1)
2) nSC (incognita n.2)
3) nIF (incognita n.4)
4) nIC (incognita n.5)
5) PS (incognita n.7)
6) XF (incognita n.8)
7) XC (incognita n.12)
8) PI (incognita n.15)

Il sistema di equazioni non è ancora risolvibile perchè il numero di incognite (8) supera il numero di equazioni indipendenti (6).
Per ridurre ulteriormente il numero di incognite è necessario tenere conto del fatto che il funzionamento del dispositivo può essere distinto in due situazioni estreme.
Nella prima il pistone caldo è bloccato al fine corsa per effetto della differenza di pressione. In tale situazione la grandezza XC è nota e perciò non è più un'incognita. Nella seconda il pistone caldo si sposta per mantenere fisso un certo delta pressorio ovvero diventa possibile scrivere un'altra equazione indipendente che mette in relazione la pressione nella camera superiore con quella nella camera inferiore. La scelta migliore per semplificare i calcoli che seguiranno è la seguente:

1a) PS > PI ⇒ XC = 0 cioè se la pressione della camera superiore è maggiore di quella nella camera inferiore il pistone caldo è bloccato nel suo punto più basso
1b) PS < PI ⇒ XC = CC cioè se la pressione della camera superiore è minore di quella nella camera inferiore, il pistone caldo è bloccato nel suo punto più alto

2) PS = PI (equazione del delta pressorio richiesto per il movimento) cioè ad ogni spostamento del pistone freddo si accompagna uno spostamento del pistone caldo tale da mantenere l'uguaglianza pressoria fra la camera superiore e la camera inferiore

Adottando la grandezza XF come parametro noto per il calcolo delle altre grandezze, il sistema di equazioni diventa risolvibile in quanto il numero di equazioni di indipendenti è pari a quello delle incognite.

*****************************************************************

Per comodità di lettura vengono scritte di nuovo le 6 equazioni che compongono il sistema da risolvere:

1) nSF + nSC = nS
2) nIF + nIC = nI
3) PS · XF · SSF = nSF · R · TSF
4) PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
5) PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
6) PI · XC · SIC = nIC · R · TIC

La funzione che permette di calcolare la pressione nella camera superiore basta può essere otteneta effettuando le seguenti operazioni algebriche.
Ricavare nSF dall'equazione 1)

nSF + nSC = nS
nSF = nS - nSC

Nell'equazione 3) sostituire nSF con l'equazione appena trovata e poi ricavare nSC

PS· XF · SSF = nSF · R · TSF
PS· XF · SSF = ( nS - nSC ) · R · TSF
( nS - nSC ) · R · TSF = PS · XF · SSF
nS - nSC = PS· XF · SSF / R · TSF
nSC = nS - PS· XF · SSF / R · TSF

Nell'equazione 4) sostituire nSC con l'equazione appena trovata quindi ricavare PS. L'equazione finale A) permette di calcolare la pressione nella camera superiore.

PS · ( CC - XC ) · SSC = nSC · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = ( nS - PS · XF · SSF / R · TSF ) · R · TSC
PS · ( CC - XC ) · SSC = nS · R · TSC - PS · XF · SSF · TSC / TSF
PS · ( CC - XC ) · SSC + PS · XF · SSF · TSC / TSF = nS · R · TSC
PS · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nS · R · TSC

A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]

Completano la soluzione per la camera superiore le equazioni per calcolare nSF e nSC. La prima si ottiene dalla 3) e la seconda dalla 4) per riarrangiamento dei termini.

B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )

Si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 1). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni B) e C) e tenere equazione 1) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.

Si passa ora all'individuazione dell'equazione che permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.
Dall'equazione 2) si ricava nIC

nIF + nIC = nI
nIC = nI - nIF

Nell'equazione 6) sostituire nIC con l'equazione appena trovata e poi ricavare nIF

PI · XC · SIC = nIC · R · TIC
PI · XC · SIC = ( nI - nIF ) · R · TIC
( nI - nIF ) · R · TIC = PI · XC · SIC
nI - nIF = PI · XC · SIC / R · TIC
nIF = nI - PI · XC · SIC / R · TIC

Nell'equazione 5) sostituire nIF con l'equazione appena trovata quindi ricavare PI. L'equazione finale D) permette di calcolare la pressione nella camera inferiore.

PI · ( CF - XF ) · SIF = nIF · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = ( nI - PI · XC · SIC / R · TIC ) · R · TIF
PI · ( CF - XF ) · SIF = nI · R · TIF - PI · XC · SIC · TIF / TIC
PI · ( CF - XF ) · SIF + PI · XC · SIC · TIF / TIC = nI · R · TIF
PI · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · R · TIF

D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]

Completano la soluzione per la camera inferiore le equazioni per calcolare nIF e nIC. La prima si ottiene dalla 5) e la seconda dalla 6) per semplice riarrangiamento dei termini.

E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )

Come già visto per la camera superiore, si noti che per una delle due quantità di gas si sarebbe potuto approfittare della più semplice equazione 2). Tuttavia si consiglia di utilizzare la coppia di equazioni E) ed F) e tenere l'equazione 2) per la verifica della correttezza dei calcoli effettuati.

A) PS = nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]
B) nSF = PS · XF · SSF / ( R · TSF )
C) nSC = PS · ( CC - XC ) · SSC / ( R · TSC )
D) PI = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]
E) nIF = PI · ( CF - XF ) · SIF / ( R · TIF )
F) nIC = PI · XC · SIC / ( R · TIC )

*****************************************************************

Per individuare la posizione del pistone freddo che permette di raggiungere l'equilibrio pressorio fra la camera inferiore e la camera superiore basta eguagliare le equazioni A) e D) e ricavare XF

PS = PI
nS · R · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · R · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]

nS · TSC / [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ] = nI · TIF / [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ]

nS · TSC · [ ( CF - XF ) · SIF + XC · SIC · TIF / TIC ] = nI · TIF · [ ( CC - XC ) · SSC + XF · SSF · TSC / TSF ]

nS · TSC · ( CF - XF ) · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · ( CC - XC ) · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF

nS · TSC · CF · SIF - nS · TSC · XF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC = nI · TIF · CC · SSC - nI · TIF · XC · SSC + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF

nS · TSC · XF · SIF + nI · TIF · XF · SSF · TSC / TSF = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC

XF · ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF ) = nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC

G) XF = [ nI · TIF · XC · SSC + nS · TSC · CF · SIF + nS · TSC · XC · SIC · TIF / TIC - nI · TIF · CC · SSC ] / ( nS · TSC · SIF + nI · TIF · SSF · TSC / TSF )

Ponendo XC = 0 (pistone caldo completamente giù) si trova il valore della posizione del pistone freddo oltre il quale il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.
Ponendo XC = CC (pistone caldo completamente su) si trova il limite superiore dell'intervallo di valori per la posizione del pistone freddo in cui il movimento del pistone caldo segue i movimenti del pistone freddo in modo che la pressione nelle due camere resti invariata.

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INDICE DEI CONTENUTI

I. GENERAZIONE DI ENERGIA ELETTRICA
30. Considerazioni sulla generazione elettrica
90. Analisi economica sulla cogenerazione domestica
26. L'alternatore lineare

II. GAS IDEALI: DALLE TRASFORMAZIONI AI MOTORI
1. L'equazione di stato dei gas perfetti: istruzioni per l'uso
3. P·V=n·R·T: considerazioni laterali
13. La trasformazione isocora
14. La trasformazione isoterma
15. La trasformazione isobara
16. La trasformazione adiabatica
65. La trasformazione isoentalpica
83. Confronto fra i processi isotermici e i processi isoentropici
2. Trasformazioni isocore e trasformazioni isobare: considerazioni sugli scambi energetici
4. Trasformazioni isoterme e trasformazioni adiabatiche: considerazioni sugli scambi energetici
74. Efficienza di un compressore commerciale - Episodio 1
75. Efficienza di un compressore commerciale - Episodio 2
76. Lavoro massimo ottenibile dall'aria compressa
91. Energia potenziale meccanica di un gas
5. Il ciclo di Carnot
12. Il trasferimento del calore
6. Il rigeneratore di calore
7. Il rigeneratore di calore - Parte seconda
28. Il rigeneratore di calore: basi teoriche
29. Dimensionamento del rigeneratore di calore
8. Il ciclo di Stirling
9. Efficienza del rigeneratore di calore e rendimento del ciclo di Stirling
10. Il ciclo di Brayton
11. Ciclo di Brayton: considerazioni su rendimento e lavoro utile
17. Il motore di Cayley free piston - Episodio 01
18. Il motore di Cayley free piston - Episodio 02
19. Il motore di Cayley free piston - Episodio 03
20. Il motore di Cayley free piston - Episodio 04
21. Il motore di Cayley free piston - Episodio 05
22. Il motore di Cayley free piston - Episodio 06
23. Il motore di Manson free piston - Episodio 07
24. Il motore di Manson free piston - Episodio 08
25. Il motore di Manson free piston - Episodio 09
27. Efficienza del rigeneratore e rendimento del motore di Manson
31. Il motore di Manson free piston - Episodio 10
32. Il motore di Manson free piston - Episodio 11
33. Il motore di Manson free piston a doppio effetto
34. Il motore di Manson LTD
35. Stufa con recupero termico
37. Il motore di Cayley free piston a doppio effetto
38. Il motore di Cayley free piston a doppio effetto - Seconda versione
39. Motore di Cayley e motore di Manson: considerazioni laterali
85. Falsi motori

III. DALL'ACQUA AL VAPORE
36. L'heat pipe
40. La tensione di vapore dell'acqua
41. Gli scambi termici dell'acqua liquida
42. Gli scambi termici nella vaporizzazione dell'acqua
43. Gli scambi termici dell'acqua a pressione costante
44. Cp dell'acqua vaporizzata: considerazioni laterali
45. La densità dell'acqua
46. Densità del vapore acqueo: considerazioni laterali
47. Il ciclo isobaro-isocoro del vapore
48. Entalpia ed energia interna
49. L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01
50. L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 02
51. Il ciclo Rankine del vapore saturo
52. Il ciclo Rankine del vapore surriscaldato
53. L'espansione adiabatica del vapore nel diagramma di Mollier
54. Il Colibrì
55. Raccolta di link sui motori Uniflow
56. Motore a vapore con distributore a cassetto
58. Colibrì free piston a doppio effetto di tipo A
59. Colibrì free piston a doppio effetto di tipo B
60. Il ciclo termodinamico del Colibrì
61. Il Colibrì a vapore
62. Il lavoro di pompaggio nel Colibrì a vapore
63. Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine
64. Colibrì Vs Uniflow Vs Rankine: considerazioni laterali
66. La trasformazione isoentalpica del vapore
67. Energia potenziale meccanica dei gas
68. Energia potenziale meccanica dei gas - Seconda Parte
69. L'energia potenziale meccanica del vapore saturo
70. Efficienza termomeccanica del vapore saturo
71. Efficienza termomeccanica del vapore surriscaldato
72. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 1
73. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 2
77. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 3
86. Il Colibrì è in realtà un leone
88. Ricerche sull'anteriorità del lion-Powerblock
89. The Una-flow Steam-engine (1912)
92. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 4
93. The Una-flow Steam-engine - Capitolo I
94. Colibrì monoeffetto biellato - Episodio 5
97. Il Colibrì – Descrizione dell’Idea
98. Il Colibrì – Contesto Commerciale
99. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE I
100. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE II
101. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE III
102. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE IV
103. Il Colibrì – La Tecnologia - PARTE V
104. Il Colibrì – Campi di Applicazione
105. Il Colibrì – Punti di Forza
106. Il Colibrì – Svantaggi

IV. RICERCA DI FRONTIERA
57. Considerazioni economiche sull'E-cat di Andrea Rossi
78. Dal compressore elettrochimico al catodo cavo di Arata/Celani
84. Il mondo non viene assimilato; viene fatto - Sir Karl Raimund Popper (1902 - 1994)
87. Speculazioni, azzardi e previsioni sulla fusione fredda
96. E-Cat e dintorni
107. E-Cat e dintorni
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110. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Il ciclo operativo
111. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Contributo al COP delle varie fasi del ciclo
112. La ganascia termica nella generazione di calore anomalo - Sulla termodinamica e sulla cinetica
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116. Teoria per l'unificazione della materia e della radiazione
117. Considerazioni laterali sulla radiazione elettromagnetica
118. Il propulsore fotonico
119. Materia e radiazione elettromagnetica: consigli per la ricerca
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130. Relativistic electric charge
131. Ragionamenti sulla carica elettrica relativistica
132. Reasoning on the relativistic electric charge
133. Conduzione elettrica nei gas
134. Electric flow in gases