L'espansione adiabatica del vapore saturo - Episodio 01

Il primo post dedicato al mondo dei motori a transizione di fase liquido-vapore è stato quello relativo alla tensione di vapore dell'acqua.
Il grafico P-T mostrato in quel frangente può essere utilizzato per stabilire se il vapore acqueo si trova nel suo stato di saturazione: il vapore è saturo quando la sua temperatura e la sua pressione sono quelle di un punto appartenente alla curva della tensione di vapore in funzione della temperatura.
Per comodità viene riportato di seguito il grafico citato.


Per quanto già visto, l'espansione adiabatica di un gas ideale provoca un abbassamento della sua pressione e della sua temperatura.
Il vapore saturo ha un comportamento similare in quanto pressione e temperatura diminuiscono nell'espansione adiabatica, ma presenta una differenza fondamentale: al processo di espansione adiabatica del vapore saturo si accompagna una condensazione parziale del vapore.
Questo fenomeno libera calore e fa in modo che la pressione e la temperatura diminuiscano meno rapidamente rispetto ad un'analoga espansione di un gas.
In questo post viene presentato un approccio numerico/sperimentale che permette di stabilire l'andamento della pressione e della frazione condensata in funzione del grado di espansione del vapore.

STATO INIZIALE
Lo stato di partenza da cui comincia l'espansione è noto ed è costituito da una certa quantità di vapore saturo a pressione e temperatura definiti (Piniziale e Tiniziale).
Le equazioni riportate di seguito sono valide per il caso più generale in cui siano presenti entrambe le fasi (liquido e vapore) e vengono poi riportate al caso specifico in cui la frazione condensata sia assente nello stato iniziale.

m = mvapore saturo iniziale + mliquido iniziale
mvapore saturo iniziale = ( 1 - Frazione condensatainiziale ) * m = ( 1 - FCin ) * m
mliquido iniziale = Frazione condensatainiziale * m = FCin * m

Hvapore saturo @Piniziale(Tiniziale) = Hvap sat in = TABULATO
ρvapore saturo @Piniziale(Tiniziale) = ρvap sat in = TABULATO
Hliquido @Piniziale(Tiniziale) = Hliq in = TABULATO
ρliquido @Piniziale(Tiniziale) = ρliq in = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale risultano essere

Hin = Hvap sat in * mvapore saturo iniziale + Hliq in * mliquido iniziale =
= Hvap sat in * m * ( 1 - FCin ) + Hliq in * m * FCin

Uin = Hin + Pin * Vin =
= Hin + Pin * ( mvapore saturo iniziale / ρvap sat in + mliquido iniziale / ρliq in ) =
= Hin + Pin * [ ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat in + FCin * m / ρliq in ]

Nel caso in cui lo stato iniziale sia costituito solo da vapore, la frazione condensata è nulla e le equazioni generali riportate appena incontrate si semplificano in

Hin = Hvap sat in * m

Uin = Hin + Pin * Vin = Hin + P * m / ρvap sat in

STATO FINALE
Per effetto del processo di espansione adiabatica una parte del vapore si condensa. Il liquido formato si va ad aggiungere all'eventuale frazione condensata già presente nello stato iniziale. Lo stato finale può quindi essere rappresentato come segue.

m = mvapore saturo iniziale + mliquido finale
mvapore saturo finale = ( 1 - Frazione condensatafinale ) * m = ( 1 - FCfin ) * m
mliquido finale = Frazione condensatafinale * m = FCfin * m

Hvapore saturo @Pfinale(Tfinale) = Hvap sat fin = TABULATO
ρvapore saturo @Pfinale(Tfinale) = ρvap sat fin = TABULATO
Hliquido @Pfinale(Tfinale) = Hliq fin = TABULATO
ρliquido @Pfinale(Tfinale) = ρliq fin = TABULATO

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato finale diventano

Hfin = Hvap sat fin * m * ( 1 - FCfin) + Hliq fin * m * FCfin

Ufin = Hfin + Pfin * Vfin =
= Hfin + Pfin * ( mvap sat fin / ρvap sat fin + mliq fin / ρliq fin ) =
= Hfin + Pfin * [ ( 1 - FCfinale ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin ]

Poichè in un'espansione adiabatica vale la relazione

L = -ΔU = - ( Ufin - Uin ) = Uin - Ufin

conoscendo il valore del lavoro diventa possibile determinare l'ammontare della frazione condensata.

Dal punto di vista matematico è conveniente adottare l'approssimazione lineare che consiste nell'assumere la curva di trasformazione sul piano P-V uguale ad un segmento che congiunge lo stato iniziale a quello finale. In questo caso il lavoro di volume è l'area di un trapezio rettangolo in cui l'altezza è data dalla variazione di volume, la base maggiore dalla pressione iniziale e la base minore dalla pressione finale

L = ( Pin + Pfin ) * ( Vfin - Vin ) / 2 =
= ( Pin + Pfin ) * [ ( mvap sat fin / ρvap sat fin + mliq fin / ρliq fin ) - ( mvap sat in / ρvap sat in + mliq in / ρliq in ) ] / 2 =
= ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat in + FCin * m / ρliq in ] / 2

Unendo quest'ultima equazione alle precedenti e con alcuni passaggi algebrici è possibile ottenere l'equazione per calcolare la frazione condensata


Di seguito viene proposto un esempio in cui vengono applicate le equazioni discusse.

ESEMPIO NUMERICO

STATO INIZIALE: 1kg di vapore saturo a 10bar (179,9°C)

m = mvapore = 1kg
mliquido = 0kg (la fase liquida è assente)
FCin = 0

L'entalpia specifica e la densità tabulati risultano essere

Hvapore saturo, @10bar(179,9°C) = 2.777,1 kJ kg-1
ρvapore saturo, @10bar(179,9°C) = 5,1451 kg m-3

quindi l'entalpia e l'energia interna dello stato iniziale diventano

Hin = Hvapore saturo, @10bar(179,9°C) * m =
= 2.777,1 kJ kg-1 * 1kg =
= 2.777,1kJ

Uin = Hin - Pin * m / ρvapore saturo, @10bar(179,9°C) =
2.777,1 kJ kg-1 * 1kg - 1.000kPa * 1kg / ( 5,1451 kg m-3 ) =
= 2.777,1kJ - 194,4kJ =
= 2.582,7kJ

STATO FINALE: Vapore saturo a 1 bar (99,6°C) e liquido a 1 bar e 99,6°C per una massa complessiva pari a 1kg

Le entalpie specifiche e le densità tabulate risultano essere

Hvapore saturo, @1bar(99,6°C) = 2.674,9 kJ kg-1
ρvapore saturo, @1bar(99,6°C) = 0,5904 kg m-3

Hliquido, @1bar e 99,6°C = 417,50 kJ kg-1
ρliquido, @1bar e 99,6°C = 958,63 kg m-3

Applicando l'equazione riportata sopra per il calcolo della frazione condensata si ottiene

Frazione condensata finale = FCfin = 0,2476 (24,76%)

da cui a cascata è possibile calcolare tutti gli altri valori

Hfin = Hvap saturo, @1bar(99,6°C) * ( 1 - Frazione condensata ) * m + Hliquido, @1bar e 99,6°C * Frazione condensata * m =
= 2.674,9 kJ kg-1 * ( 1 - 0,2476 ) * 1kg + 417,50 kJ kg-1 * 0,2476 * 1kg =
= 2.116,0kJ

Ufin = Hfin - P * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvapore saturo, @1bar(99,6°C) + FCfinale * m / ρvapore saturo, @1bar e 99,6°C ] =
= 2.116,0 kJ - 100kPa * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m-3 ) ] =
= 1.988,5kJ

L = ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - ( 1 - FCin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin ] / 2

Poichè lo stato iniziale è costituito solo da vapore, la frazione condensata iniziale è nulla e l'equazione generale sopra riportata si semplifica in

L = ( Pin + Pfin ) * [ ( 1 - FCfin ) * m / ρvap sat fin + FCfin * m / ρliq fin - m / ρvap sat fin ] / 2 =
= ( 1.000kPa + 100kPa ) * [ ( 1 - 0,2476 ) * 1kg / ( 0,5904 kg m-3 ) + 0,2476 * 1kg / ( 958,63 kg m-3 ) - 1kg / ( 5,1451 kg m-3 ) ] / 2 =
= 594,2kJ

Il lavoro risulta ovviamente identico alla variazione di energia interna

L = -ΔU = - ( Ufin - Uin ) = Uin - Ufin =
= 2.582,7kJ - 1.988,5kJ = 594,2kJ

Il diagramma P-V che segue rappresenta i punti relativi agli stati iniziale e finale della trasformazione e l'approssimazione lineare adottata per il calcolo del lavoro di volume. Il valore di quest'ultimo corrisponde a quello dell'area di colore verde.



Si segnala che l'esempio numerico proposto ha una funzione dimostrativa/didattica della metodologia ma non deve essere considerato la soluzione definitiva. In tal senso si anticipa che il metodo proposto è tanto più preciso quanto minore è la differenza di pressione fra lo stato iniziale e quello finale e quindi per migliorare l'attendibilità dei risultati è necessario suddividere l'espansione in più passaggi (step).
Nel prossimo post scopriremo che valutare un'espansione adiabatica del vapore saturo da 10bar a 1bar in un solo step come fatto nell'esempio genera una stima errata per eccesso sia sul lavoro (+73%) che sulla frazione condensata (+93%) e che per ottenere un risultato più realistico è indispensabile suddividere l'espansione in più step.

2 commenti:

  1. Ciao Yuz! vorrei porti un dubbio che ho avuto leggendo tale post.
    Supponiamo di avere una portata di 150 mol/s di vapor d'acqua saturo a titolo x=1 alla pressione di 3 bar e quindi ad una T*=133 °C. Supponiamo che tale vapore incontri una valvola di laminazione tarata a 1.5 bar. A valle di tale valvola dunque cosa avrò? se utilizzo mollier considerando tale espansione isoentalpica otterrò in uscita un vapore surriscaldato a una T leggermente minore di 133 °C. Tuttavia mi è venuto il dubbio che sia un approccio sbagliato leggendo questo post, in quanto magari potrei considerare tale espansione come adiabatica ed avere allora in uscita un vapore saturo ad un'altra T e del liquido saturo evaporato a causa del raffreddamento dovuto all'espansione.
    Grazie mille|!

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    Risposte
    1. Ciao Ale_Nonno,
      i processi adiabatici sono quelli che avvengono senza scambio di calore con l’esterno. Si identificano due trasformazione estreme: l’isoentropica, in cui il processo avviene in maniera reversibile producendo o subendo lavoro di volume, e l’isoentalpica, in cui il processo avviene in maniera irreversibile senza alcun lavoro di volume.
      In questo post ci si è uniformati alla tendenza molto diffusa di identificare il processo adiabatico con quello isoentropico, ma si tratta di una pratica deprecabile.
      Lo scenario di cui parli è senza dubbio quello relativo a un processo isoentalpico.
      Sull'argomento posso consigliarti questi due post:
      La trasformazione isoentalpica
      La trasformazione isoentalpica del vapore

      Elimina

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